공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지와 허근 조건

문제

다항식 f(x)=x2+px+qf ( x ) = x ^{2} + px + q (p,qp , q는 실수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 f(x)f ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지는 11이다. (나) 실수 aa에 대하여 이차방정식 f(x)=0f ( x ) = 0의 한 근은 a+ia + i이다.

p+2qp + 2 q의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①22②44③66④88⑤1010

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①

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해설

[출제의도] 나머지정리와 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 (가)에서 f(1)=1+p+q=1f ( 1 ) = 1 + p + q = 1 p+q=0p + q = 0…… ㉠ (나)에서 a−ia - i도 이차방정식의 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 p=−2ap = - 2 a, q=a2+1q = a ^{2} + 1…… ㉡ ㉠, ㉡에서 p+q=−2a+a2+1=0p + q = - 2 a + a ^{2} + 1 = 0 a=1a = 1, p=−2,q=2p = - 2 , q = 2 따라서 p+2q=2p + 2 q = 2

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#나머지정리#켤레근

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