공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지와 최대공약수

문제

다항식 $f ( x ) = x ^{4} + ax ^{2} - x - 2$ 를 $g ( x ) = x ^{3} + bx + 2$ 로 나눈 나머지를 $R ( x )$ 라 하자. $g ( x )$ 와 $R ( x )$ 의 최대공약수가 $x + 2$ 일 때, $a + b$ 의 값은? (단, $a , b$ 는 상수이다.) [3점] ① $- 10$ ② $- 7$ ③ $- 4$ ④ $- 1$ ⑤ $2$

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②

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해설

[출제의도] 다항식의 최대공약수 이해하기 다항식 $f ( x )$ 를 $g ( x )$ 로 나눈 몫을 $Q ( x )$ 라 하면, $f ( x ) = g ( x ) Q ( x ) + R ( x )$ 이다. $x + 2$ 가 $g ( x )$ 와 $R ( x )$ 의 인수이므로 $g ( - 2 ) = R ( - 2 ) = 0$ 따라서 $f ( - 2 ) = 0$ $f ( - 2 ) = 16 + 4 a + 2 - 2 = 0$ $\therefore a = - 4$ $g ( - 2 ) = - 8 - 2 b + 2 = 0$ $\therefore b = - 3$ $\therefore a + b = - 7$

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