대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지로 만든 수열의 합

문제

nn이 자연수일 때, xx에 대한 다항식 x3+(1−n)x2+nx ^{3} + ( 1 - n ) x ^{2} + n을 x−nx - n으로 나눈 나머지를 ana _{n}이라 하자. ∑n=1101an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [3점]

①78\displaystyle \frac{7}{8}②89\displaystyle \frac{8}{9}③910\displaystyle \frac{9}{10}④1011\displaystyle \frac{10}{11}⑤1112\displaystyle \frac{11}{12}

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 문제해결하기 an=n3+(1−n)n2+n=n(n+1)a _{n} = n ^{3} + ( 1 - n ) n ^{2} + n = n ( n + 1 ) ∑n=1101n(n+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} {\frac{1}{n ( n + 1 )}}=∑n=110(1n−1n+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} {\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)} =(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)\displaystyle = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) =1−111=1011\displaystyle = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

태그

#나머지정리#부분분수#시그마

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