대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지로 정의된 수열의 합

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 2$ , $a _{n+1} = ( 8 a _{n} \text{을} 5 \text{로} \text{나눈} \text{나머지} )$ $( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2010} a _{k}$ 의 값은? [3점] ① $5012$ ② $5013$ ③ $5022$ ④ $5023$ ⑤ $5026$

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④

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[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 이해하기 $a _{1} = 2$ , $a _{2} = 1$ , $a _{3} = 3$ , $a _{4} = 4$ , $a _{5} = 2$ , $\cdots$ 이므로 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{n+4} = a _{n}$ 이고 $a _{n} + a _{n+1} + a _{n+2} + a _{n+3} = 10$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2010} a _{k} = 502 \times ( 2 + 1 + 3 + 4 ) + 2 + 1$ $= 502 \times 10 + 2 + 1 = 5023$

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