나머지정리와 몫

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 다항식 $2 x ^{3} + x ^{2} + x - 1$을 일차식 $x - a$로 나누었을 때 몫은 $Q \left( x \right)$, 나머지는 $3$이므로 $2 x ^{3} + x ^{2} + x - 1 = \left( x - a \right) Q \left( x \right) + 3$ 이다. 나머지정리에 의해 양변에 $x = a$를 대입하면 $2 a ^{3} + a ^{2} + a - 1 = 3$ 이므로 $2 a ^{3} + a ^{2} + a - 4 = 0$이고 $\left( a - 1 \right) \left( 2 a ^{2} + 3 a + 4 \right) = 0$이다. $2 a ^{2} + 3 a + 4 = 0$이 실근을 갖지 않으므로 $a = 1$이다. $2 x ^{3} + x ^{2} + x - 1 = \left( x - 1 \right) Q \left( x \right) + 3$에서 조립제법을 이용하면

$2 x ^{3} + x ^{2} + x - 1 = \left( x - 1 \right) \left( 2 x ^{2} + 3 x + 4 \right) + 3$ 이다. 따라서 $Q \left( x \right) = 2 x ^{2} + 3 x + 4$이고, $Q \left( a \right) = Q \left( 1 \right) = 9$이다.