대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지정리와 등비수열

문제

xx에 대한 다항식 x3−ax+bx ^{3} - ax + b를 x−1x - 1로 나눈 나머지가 5757이다. 세 수 11, aa, bb가 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룰 때, ba\displaystyle \frac{b}{a}의 값은? ((단, aa와 bb는 상수이다.)) [4점] ①22②44③88④1616⑤3232

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③

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해설

xx에 대한 다항식 x3−ax+bx ^{3} - ax + b를 x−1x - 1로 나눈 나머지가 5757이므로 나머지 정리에 의하여 1−a+b=571 - a + b = 57 b=a+56b = a + 56 ⋯\cdots㉠ 11, aa, bb가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 a2=ba ^{2} = b ⋯\cdots㉡ ㉠, ㉡에 의하여 a2=a+56a ^{2} = a + 56 a2−a−56=(a+7)(a−8)=0a ^{2} - a - 56 = \left( a + 7 \right) \left( a - 8 \right) = 0 a=−7a = - 7 또는 88 공비는 aa이고 양수이므로 a=8a = 8, b=a2=64b = a ^{2} = 64 따라서 ba=648=8\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{64}{8} = 8

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#등비중항#나머지정리

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