공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지정리 나머지

문제

다항식 P(x)P ( x ) 에 대하여 P(x)−7P ( x ) - 7 은 x−1x - 1 로 나누어 떨어지고, P(x)+3P ( x ) + 3 은 x+1x + 1 로 나누어 떨어진다. P(x)P ( x ) 를 x2−1x ^{2} - 1 로 나눈 나머지를 R(x)R ( x ) 라 할 때, R(3)R ( 3 ) 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. P(x)−7P ( x ) - 7이 x−1x - 1로 나누어 떨어지므로 P(1)−7=0,∴P(1)=7P ( 1 ) - 7 = 0 , \therefore P ( 1 ) = 7 …㉠ P(x)+3P ( x ) + 3이 x+1x + 1로 나누어 떨어지므로 P(−1)+3=0,∴P(−1)=−3P ( - 1 ) + 3 = 0 , \therefore P ( - 1 ) = - 3 …㉡ P(x)P ( x )를 x2−1x ^{2} - 1로 나눈 몫을 Q(x),Q ( x ) ,나머지를 R(x)=ax+bR ( x ) = ax + b라 하면 P(x)=(x2−1)Q(x)+ax+bP ( x ) = ( x ^{2} - 1 ) Q ( x ) + ax + b …㉢ ㉠, ㉡，㉢에 의하여 P(1)=a+b=7,P(−1)=−a+b=−3P ( 1 ) = a + b = 7 , P ( - 1 ) = - a + b = - 3 이를 연립하여 풀면 a=5,b=2a = 5 , b = 2 ∴R(x)=5x+2\therefore R ( x ) = 5 x + 2 ∴R(3)=17R ( 3 ) = 17

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