나머지정리

[출제의도] 나머지정리를 이해하여 미지수를 구한다. 다항식 $f ( x )$를 $\left( x - 3 \right) \left( 2 x - a \right)$로 나눈 몫이 $x + 1$이고 나머지가 $6$이므로 $f ( x ) = ( x - 3 ) ( 2 x - a ) ( x + 1 ) + 6$ …… ㉠ 다항식 $f ( x )$를 $x - 1$로 나눈 나머지가 $6$이므로 나머지정리에 의해 $f ( 1 ) = 6$이다. ㉠에 $x = 1$을 대입하면 $f ( 1 )$$= ( 1 - 3 ) ( 2 - a ) \times 2 + 6$$= \mathit{-} 4 \left( 2 - a \right) + 6$$= \mathit{-} 8 + 4 a + 6$$= 4 a - 2$ 따라서 $4 a - 2 = 6$, $a = 2$ [다른 풀이] 다항식 $f ( x )$를 $\left( x - 3 \right) \left( 2 x - a \right)$로 나눈 몫이 $x + 1$이고 나머지가 $6$이므로 $f ( x ) = ( x - 3 ) ( 2 x - a ) ( x + 1 ) + 6$ …… ㉡ 한편, 다항식 $f ( x )$를 $x - 1$로 나눈 몫을 $Q \left( x \right)$라 하면 $f ( x ) = ( x - 1 ) Q ( x ) + 6$ …… ㉢ ㉡, ㉢에서 $( x - 3 ) ( 2 x - a ) ( x + 1 ) = ( x - 1 ) Q ( x )$ 이때 $( x - 3 ) ( 2 x - a ) ( x + 1 )$은 $x - 1$을 인수로 가져야 한다. 따라서 $2 x - a = 2 \left( x - 1 \right)$에서 $a = 2$