공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

나머지정리

문제

다항식 P(x)P ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지는 33이고, x+2x + 2로 나눈 나머지는 −3- 3이다. P(x)P ( x )를 x2+x−2x ^{2} + x - 2로 나눈 나머지를 R(x)R ( x )라고 할 때, R(10)R ( 10 )의 값을 구하시오. [2점]

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21

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해설

다항식 P (x)를 x-1, x+2로 나눈 나머지가 각각 3, -3이므로 P (1)=3, P (-2)=-3 ………………………… ㉠ 다항식 P (x)를 x2+x−2x ^{2} + x - 2로 나누었을 때, 몫을 Q(x), 나머지를 R (x)=ax+b (단, a, b 는 상수)라 하면 P(x)=(x2+x−2)Q(x)+R(x)P ( x ) = ( x ^{2} + x - 2 ) Q ( x ) + R ( x ) =(x+2)(x−1)Q(x)+ax+b= ( x + 2 ) ( x - 1 ) Q ( x ) + ax + b P (1)=a+b=3 (∵\because ㉠) P (-2)=-2a+b=-3 (∵\because ㉠) 두 식을 연립하여 풀면 a=2a = 2, b=1b = 1 ∴ R(x)=2x+1R ( x ) = 2 x + 1 ∴ R(10)=2⋅10+1R ( 10 ) = 2 \cdot 10 + 1=21= 21

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