나머지정리

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 주어진 값을 구한다. 다항식 $P ( x )$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫이 $Q ( x )$이고 나머지가 $3$이므로 $P ( x ) = ( x - 2 ) Q ( x ) + 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 다항식 $Q ( x )$를 $x - 1$로 나누었을 때의 몫을 $Q _{1} ( x )$라 하면 나머지가 $2$이므로 $Q ( x ) = ( x - 1 ) Q _{1} ( x ) + 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 $P \left( x \right)$$= ( x - 2 ) \left\{ ( x - 1 ) Q _{1} ( x ) + 2 \right\} + 3$ $= ( x - 2 ) ( x - 1 ) Q _{1} ( x ) + 2 ( x - 2 ) + 3$ $= ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q _{1} ( x ) + 2 x - 1$ 따라서 $P ( x )$를 $( x - 1 ) ( x - 2 )$로 나누었을 때의 나머지는 $R ( x ) = 2 x - 1$이다. ∴ $R ( 3 ) = 5$ [다른 풀이] 다항식 $P ( x )$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫이 $Q ( x )$이고 나머지가 $3$이므로 $P ( x ) = ( x - 2 ) Q ( x ) + 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ ∴ $P ( 2 ) = 3$ 다항식 $Q ( x )$를 $x - 1$로 나누었을 때의 몫을 $Q _{1} ( x )$라 하면 나머지가 $2$이므로 $Q ( x ) = ( x - 1 ) Q _{1} ( x ) + 2$ ∴ $Q ( 1 ) = 2$ ㉠에서 $P ( 1 ) = ( 1 - 2 ) Q ( 1 ) + 3 = 1$ ∴ $P ( 1 ) = 1$ $P ( x )$를 $( x - 1 ) ( x - 2 )$로 나누었을 때의 몫을 $Q _{2} ( x )$라 하면, 나머지 $R \left( x \right)$는 일차 이하의 다항식이다. $R \left( x \right) = ax + b$로 놓으면 $P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q _{2} ( x ) + ax + b$이므로 $P ( 2 ) = 2 a + b = 3$ $\cdots \cdots$ ㉡ $P ( 1 ) = a + b = 1$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡과 ㉢을 연립하면 $a = 2$, $b = - 1$ 따라서 $R ( x ) = 2 x - 1$이므로 $R ( 3 ) = 5$