공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지정리

문제

$x$ 에 대한 다항식 $f ( x ) + 1$ 을 $x + 1$ 로 나누면 나머지가 5이고, $2 f ( x ) - 1$ 을 $2 x - 1$ 로 나누면 나머지가 1이다. $f ( x )$ 를 $( x + 1 ) ( 2 x - 1 )$ 로 나누었을 때의 나머지는? [4점] ① $- 3 x - 1$ ② $- 3 x + 1$ ③ $- 2 x + 1$ ④ $- 2 x + 2$ ⑤ $- x + 3$

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④

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[출제의도] 다항식의 나머지정리 이해하기 $f ( x ) + 1 = ( x + 1 ) Q _{1} ( x ) + 5$ $\therefore f ( - 1 ) = 4$ $2 f ( x ) - 1 = ( 2 x - 1 ) Q _{2} ( x ) + 1$ $\displaystyle \therefore f \left( \frac{1}{2} \right) = 1$ $f ( x ) = ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) Q ( x ) + ax + b$ 에서 $f ( - 1 ) = - a + b = 4$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} a + b = 1$ $\cdots$ ㉡㉠과 ㉡을 연립하면 $a = - 2 , b = 2$ 따라서 나머지는 $- 2 x + 2$

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