공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지정리

문제

최고차항의 계수가 11인 이차다항식 P(x)P \left( x \right)를 x−1x - 1로 나눈 나머지가 22이고, x−2x - 2로 나눈 나머지가 33이다. P(x)P \left( x \right)를 x−3x - 3으로 나눈 나머지를 구하시오. [3점]

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6

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해설

P(x)=x2+ax+bP \left( x \right) = x ^{2} + ax + b (단, aa, bb는 상수)라 하자. 나머지정리에 의하여 P(1)=1+a+b=2P \left( 1 \right) = 1 + a + b = 2, a+b=1a + b = 1 ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ P(2)=4+2a+b=3P \left( 2 \right) = 4 + 2 a + b = 3, 2a+b=−12 a + b = - 1 ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 a=−2a = - 2, b=3b = 3 P(x)=x2−2x+3P \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + 3 따라서 P(x)P \left( x \right)를 x−3x - 3으로 나눈 나머지는 P(3)=6P \left( 3 \right) = 6

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