나머지 연산 판정

① $2 ^{4n} = ( 2 ^{4} ) ^{n}$$= ( 1 + 15 ) ^{n}$ $= _{n} C _{0} + _{n} C _{1} 15 + _{n} C _{2} 15 ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} 15 ^{n}$ $= 1 + \left\{ {}_{n} C _{1} 15 + _{n} C _{2} 15 ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} 15 ^{n} \right\}$ ${}_{n} C _{1} 15 + _{n} C _{2} 15 ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} 15 ^{n}$은 $5$의 배수이므로, $2 ^{4n} \lozenge 5 = 1$ ② $n$이 자연수일 때, $2 ^{2n}$은 $5$의 배수가 될 수 없으므로 $2 ^{n} \lozenge 5 \ne 0$ ③ $2 ^{n}$을 $5$로 나누었을 때 몫이 $a ,$ 나머지가 $b ,$ $2 ^{m}$을 $5$로 나누었을 때 몫이 $c ,$ 나머지가 $d$라고 하면 $2 ^{n} = 5 a + b ,$ $2 ^{m} = 5 c + d$ ($a , b , c , d$는 정수 $0 \leq b , d \leq 4$) $2 ^{m+n} = 2 ^{m} \cdot 2 ^{n}$$= ( 5 a + b ) ( 5 c + d )$ $= 5 ( 5 ac + ad + bc ) + bd$이므로 $2 ^{m+n} \lozenge 5$$= b d \lozenge 5$ $\left\{ 2 ^{m} ( 2 ^{n} \lozenge 5 ) \right\} \lozenge 5$$= \left\{ 2 ^{m} \cdot b \right\} \lozenge 5$$= \left\{ ( 5 c + d ) \cdot b \right\} \lozenge 5$$= b d \lozenge 5$ $\therefore 2 ^{m + n} \lozenge 5 = \left\{ 2 ^{m} ( 2 ^{n} \lozenge 5 ) \right\} \lozenge 5$ ④ 위 ③과 같이 하면 $\left\{ ( 2 ^{m} \lozenge 5 ) ( 2 ^{n} \lozenge 5 ) \right\} \lozenge 5 = bd \lozenge 5$ ∴ $2 ^{m+n} \lozenge 5 = \left\{ ( 2 ^{m} \lozenge 5 ) ( 2 ^{n} \lozenge 5 ) \right\} \lozenge 5$ ⑤ 위와 같이 하면 (좌변)$= ( 2 ^{m} + 2 ^{n} ) \lozenge 5$$= ( b + d ) \lozenge 5$ (우변)$= ( 2 ^{m} \lozenge 5 ) + ( 2 ^{n} \lozenge 5 )$$= b + d$ 즉, $( b + d ) \lozenge 5 = b + d$가 성립한다고 볼 수 없다.