나머지 수열 합

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기 (가)에서 $a _{1} = 1$, $a _{2} = 2$ (나)에서 $n \geq 3$인 자연수에 대하여 $a _{n}$은 $a _{n - 2}$와 $a _{n - 1}$의 합을 $4$로 나눈 나머지이므로 $a _{1} = 1$, $a _{2} = 2$, $a _{3} = 3$, $a _{4} = 1$, $a _{5} = 0$, $a _{6} = 1$, $a _{7} = 1$, $a _{8} = 2$, $\cdots$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} a _{k} = 8$, $a _{n + 6} = a _{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6 n} a _{k} = 8 n$ $n = 20$일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{120} a _{k} = 160$ $a _{121} = a _{1} = 1$, $a _{122} = a _{2} = 2$, $a _{123} = a _{3} = 3$ $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = 160 + 1 + 2 + 3 = \sum\limits _{k = 1} ^{120} a _{k} + a _{121} + a _{122} + a _{123}$ 따라서 $m = 123$