미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지 수열 급수

문제

2007n2007 ^{n}을 55로 나눈 나머지를 ana _{n}이라 할 때, 100∑n=1∞a4n3n\displaystyle 100 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{4 n}}{3 ^{n}}의 값을 구하시오. [4점]

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50

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해설

2007n2007 ^{n}을 55로 나눈 나머지는 2007n2007 ^{n}의 일의 자리 수를 55로 나눈 나머지와 같으므로 200712007 ^{1}을 55로 나눈 나머지는 22이고, 200722007 ^{2}을 55로 나눈 나머지는 44이고, 200732007 ^{3}을 55로 나눈 나머지는 33이고, 200742007 ^{4}을 55로 나눈 나머지는 11이다. 따라서 a1=2a _{1} = 2, a2=4a _{2} = 4, a3=3,a4=1a _{3} = 3 , a _{4} = 1이고 이 네 개의 수가 순서대로 반복 된다. 따라서 a4n=a _{4 n} = a4⋅1=a4⋅2=a4⋅3=⋯=1a _{4 \cdot 1} = a _{4 \cdot 2} = a _{4 \cdot 3} = \cdots = 1이므로 100∑n=1∞a4n3n=100∑n=1∞13n=100(131−13)=50\displaystyle 100 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{4 n}}{3 ^{n}} = 100 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{3 ^{n}} = 100 \left( \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \right) = 50

태그

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