나머지 수열 보기

[출제의도] 여러 가지 수열의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. (가)에서 $a _{1} = 1$ (나)에서 모든 자연수에 $n$에 대하여 $a _{n + 1}$은 $a _{n}$과 $n$의 합을 $3$으로 나누었을 때의 나머지이므로 $a _{1} = 1$, $a _{2} = 2$, $a _{3} = 1$, $a _{4} = 1$, $a _{5} = 2$, $a _{6} = 1$, $a _{7} = 1$, $a _{8} = 2$, $a _{9} = 1$, $\cdots$ 위와 같이 반복된다. ㄱ. $a _{3} = 1$ (참) ㄴ. $a _{1} = a _{4} = a _{7} = \cdots$, $a _{2} = a _{5} = a _{8} = \cdots$ $a _{3} = a _{6} = a _{9} = \cdots$ 이므로 모든 자연수 $m$에 대하여 $a _{m + 3} = a _{m}$ (참) ㄷ. $a _{1} + a _{2} + a _{3} = 4$이고, ㄴ에 의하여 $a _{4} + a _{5} + a _{6} = 4$, $a _{7} + a _{8} + a _{9} = 4$, $\cdots$ 이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = 100 = 25 \times 4$이므로 $n = 25 \times 3 = 75$ (참)