공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지 R(x) 결정

문제

다항식 P(x)P \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) P(x)P \left( x \right)를 x−2x - 2로 나눈 나머지와 x−3x - 3으로 나눈 나머지의 합은 77이다. (나) P(x)P \left( x \right)를 x2−5x+6x ^{2} - 5 x + 6으로 나눈 나머지를 R(x)R \left( x \right)라 할 때, R(1)−R(2)=5R \left( 1 \right) - R \left( 2 \right) = 5이다.

R(1)R \left( 1 \right)의 값은? [4점] ①33②55③77④99⑤1111

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⑤

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해설

(가)에서 나머지정리에 의하여 P(2)+P(3)=7P \left( 2 \right) + P \left( 3 \right) = 7 (나)에서 P(x)P \left( x \right)를 x2−5x+6x ^{2} - 5 x + 6으로 나눈 몫을 Q(x)Q \left( x \right)라 하면, P(x)=(x−2)(x−3)Q(x)+R(x)P \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) Q \left( x \right) + R \left( x \right)이다. P(2)=R(2)P \left( 2 \right) = R \left( 2 \right), P(3)=R(3)P \left( 3 \right) = R \left( 3 \right) P(2)+P(3)=R(2)+R(3)=7P \left( 2 \right) + P \left( 3 \right) = R \left( 2 \right) + R \left( 3 \right) = 7 ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ R(x)=ax+b(a,bR \left( x \right) = ax + b \left( a , b \right.는 실수)\left. \right)라 하면 R(2)−R(3)=R(1)−R(2)=−aR \left( 2 \right) - R \left( 3 \right) = R \left( 1 \right) - R \left( 2 \right) = - a이다. R(2)−R(3)=−a=5R \left( 2 \right) - R \left( 3 \right) = - a = 5 ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 a=−5a = - 5, b=16b = 16 R(x)=−5x+16R \left( x \right) = - 5 x + 16 따라서 R(1)=11R \left( 1 \right) = 11

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