공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지 R(x) 보기

문제

이차 이상의 다항식 f(x)f ( x )를 (x−a)(x−b)( x - a ) ( x - b )로 나눈 나머지를 R(x)R ( x )라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, aa, bb는 서로 다른 두 실수이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. f(a)−R(a)=0f ( a ) - R ( a ) = 0 ㄴ. f(a)−R(b)=f(b)−R(a)f ( a ) - R ( b ) = f ( b ) - R ( a ) ㄷ. af(b)−bf(a)=(a−b)R(0)af ( b ) - bf ( a ) = ( a - b ) R ( 0 )

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 추론하기 다항식 f(x)f ( x )를 (x−a)(x−b)( x - a ) ( x - b )로 나눈 몫을 Q(x)Q ( x )라 하면 f(x)=(x−a)(x−b)Q(x)+R(x)f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) Q ( x ) + R ( x ) …… ㉠ ㄱ. ㉠은 xx에 대한 항등식이므로 x=ax = a를 대입하면 f(a)=R(a)f ( a ) = R ( a )이므로 f(a)−R(a)=0f ( a ) - R ( a ) = 0 (참) ㄴ. (반례) f(x)=(x−a)(x−b)+xf ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) + x라 하면 R(x)=xR ( x ) = x이고 f(a)−R(b)=a−bf ( a ) - R ( b ) = a - b f(b)−R(a)=b−af ( b ) - R ( a ) = b - a 이때, a≠ba \ne b이므로 f(a)−R(b)≠f(b)−R(a)f ( a ) - R ( b ) \ne f ( b ) - R ( a ) (거짓) ㄷ. R(x)=px+qR ( x ) = px + q라 하면 f(a)=pa+q,f(b)=pb+qf ( a ) = pa + q , f ( b ) = pb + q에서 af(b)−bf(a)=abp+aq−abp−bqaf ( b ) - bf ( a ) = abp + aq - abp - bq=(a−b)q= \left( a - b \right) q R(0)=qR ( 0 ) = q이므로 af(b)−bf(a)=af ( b ) - bf ( a ) =(a−b)R(0)\left( a - b \right) R \left( 0 \right) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

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