공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

나머지 조건 계수

문제

xx에 대한 삼차다항식 P(x)=(x2−x−1)(ax+b)+2P ( x ) = ( x ^{2} - x - 1 ) ( ax + b ) + 2 에 대하여 P(x+1)P ( x + 1 )을 x2−4x ^{2} - 4로 나눈 나머지가 −3- 3일 때, 50a+b50 a + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점]

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46

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해설

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 다항식의 나눗셈에 의해 P(x)P \left( x \right)=(x2−x−1)(ax+b)+2= \left( x ^{2} - x - 1 \right) \left( ax + b \right) + 2⋯\cdots① P(x+1)P \left( x + 1 \right)=(x2−4)Q(x)−3= \left( x ^{2} - 4 \right) Q \left( x \right) - 3 =(x−2)(x+2)Q(x)−3= ( x - 2 ) ( x + 2 ) Q ( x ) - 3⋯\cdots ② x=2x = 2를 ②에 대입하면 P(3)=−3P \left( 3 \right) = - 3 x=−2x = - 2를 ②에 대입하면 P(−1)=−3P \left( - 1 \right) = - 3 이 된다. ①의 식에 x=3x = 3, x=−1x = - 1을 대입하여 정리하면 3a+b=−13 a + b = - 1, −a+b=−5- a + b = - 5이고 a=1a = 1, b=−4b = - 4 이다. 따라서 50a+b=50−4=4650 a + b = 50 - 4 = 46 이다.

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#나머지정리

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