나머지 조건 다항식

다항식 $f \left( x \right)$를 $\left( x - a \right) ^{2}$으로 나눈 나머지 $2 f \left( x \right) + 6 x ^{2} - 4$는 일차식 또는 상수항이어야 하므로 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $- 3$인 이차식이다. $f \left( x \right) = - 3 x ^{2} + bx + c \left( \right.$단, $b$, $c$는 상수$\left. \right)$ $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( x \right) + 3$을 $x ^{2} - 4 x - 5$로 나눈 몫을 $Q \left( x \right)$라 하면 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( x \right) + 3$ $= \left( x ^{2} - 4 x - 5 \right) Q \left( x \right) + 2$ $= \left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) Q \left( x \right) + 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에 $x = - 1$을 대입하면 $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( - 1 \right) + 3 = 2$ $\left\{ f \left( - 1 \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( - 1 \right) + 1 = \left\{ f \left( - 1 \right) - 1 \right\} ^{2} = 0$ $f \left( - 1 \right) = 1$, $- 3 - b + c = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠에 $x = 5$를 대입하면 $\left\{ f \left( 5 \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( 5 \right) + 3 = 2$ $\left\{ f \left( 5 \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( 5 \right) + 1 = \left\{ f \left( 5 \right) - 1 \right\} ^{2} = 0$ $f \left( 5 \right) = 1$, $- 75 + 5 b + c = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에 의하여 $b = 12$, $c = 16$ $f \left( x \right) = - 3 x ^{2} + 12 x + 16$ $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} \times \left( - 3 \right) + 2 f \left( x \right) + 6 x ^{2} - 4$ $f \left( a \right) = 2 f \left( a \right) + 6 a ^{2} - 4$ $f \left( a \right) + 6 a ^{2} - 4$$= - 3 a ^{2} + 12 a + 16 + 6 a ^{2} - 4$ $= 3 \left( a + 2 \right) ^{2} = 0$ $a = - 2$ 따라서 $f \left( a ^{2} \right) = f \left( 4 \right) = 16$