대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

나머지 등차수열

문제

$x$ 에 대한 이차다항식 $f ( x ) = a ^{2} ( x - 1 ) ^{2} + 7 a ( x + 1 ) + 1$ 을 $x - 1$ , $x + 1$ , $x + 2$ 로 나눈 나머지들을 차례로 나열하면 등차수열이 된다. 이때, $a ^{2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 등차수열을 이용하여 미정계수 구하기 $f ( x ) = a ^{2} ( x - 1 ) ^{2} + 7 a ( x + 1 ) + 1$ $x - 1 , x + 1 , x + 2$ 로 나눈 나머지 $f ( 1 ) = 14 a + 1 , f ( - 1 ) = 4 a ^{2} + 1 ,$ $f ( - 2 ) = 9 a ^{2} - 7 a + 1$ 가 차례대로 등차수열을 이루므로 $2 ( 4 a ^{2} + 1 ) = ( 14 a + 1 ) + ( 9 a ^{2} - 7 a + 1 )$ $a ^{2} + 7 a = 0$ , $a = - 7 ( a \neq 0 )$ ∴ $a ^{2} = 49$

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