내접원과 현의 길이

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용하여 문제해결하기

$\displaystyle y = \frac{1}{3} x$

그림과 같이 직선 $\mathrm{AB}$를 $x$축, 직선 $\mathrm{AD}$를 $y$축으로 하는 좌표평면을 잡는다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BP}} = 3 : 1$ 직선 $\mathrm{AP}$는 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 원점을 지나므로 직선 $\mathrm{AP}$의 방정식은 $\displaystyle y = {\frac{1}{3}} x$이다. 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이가 $10$이므로 $\mathrm{O} \left( 5 , 5 \right)$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 5$ 점 $\mathrm{O} \left( 5 , 5 \right)$에서 직선 $x - 3 y = 0$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} =$$\displaystyle \frac{\left| 5 - 15 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 3 ^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QH}} = \sqrt{15}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = 2 \sqrt{15}$