내접원과 둘레

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 삼각함수 문제 해결하기

$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

그림과 같이 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고, 원과 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$가 만나는 저을 각각 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. $\displaystyle \tan \left( \angle \mathrm{OCD} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{OCD}} = \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \angle {\mathrm{ACB}} = \frac{\pi}{3}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = a$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} = a$이고 (삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 16 \times \left( a + 4 \right) \times {\sin \frac{\pi}{3}} = 4 \sqrt{3} \left( a + 4 \right)$ (삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이)$+$(삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이)$+$ (삼각형 $\mathrm{OCA}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times \left\{ \left( a + 12 \right) + 16 + \left( a + 4 \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \left( a + 16 \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle 4 \sqrt{3} \left( a + 4 \right) = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \left( a + 16 \right)$에서 $a = 2$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이는 $2 \times \left( 12 + 4 + 2 \right) = 36$ [다른풀이] 삼각형 $\mathrm{BCA}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} = \frac{16 ^{2} + \left( a + 4 \right) ^{2} - \left( a + 12 \right) ^{2}}{2 \times 16 \times \left( 1 + 4 \right)}$이므로 $a = 2$이다.