공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원으로 피타고라스 정리 증명

문제

다음은 피타고라스 정리를 증명한 것이다.

<증명> 그림과 같이 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC} 에서 AB‾=c\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}}} = c , BC‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \mathit{=} a , CA‾=b\displaystyle {\mathrm{\overline{CA}}} = b , 내접원의 중심을 I\mathrm{I} , 반지름의 길이를 rr 라 하고, 내접원과 세 변의 접점을 D,E,F\mathrm{D} , E , F 라 하자. A\mathrm{A} B\mathrm{B} C\mathrm{C} D\mathrm{D} E\mathrm{E} F\mathrm{F} I\mathrm{I} aa cc bb (△ABC\triangle \mathrm{ABC}의 넓이) ==(△ABI\triangle \mathrm{ABI}의 넓이)+(△BCI\triangle \mathrm{BCI}의 넓이)+(△CAI\triangle \mathrm{CAI}의 넓이) 이므로 r=r = (가) 한편, △ABC\mathrm{\triangle} ABC 둘레 길이의 합 a+b+c=a+2r+a + b + c = a + 2 r + (나) (다) (가) (다)

(△ABC\triangle \mathrm{ABC}의 넓이) ==(△ABI\triangle \mathrm{ABI}의 넓이)+(△BCI\triangle \mathrm{BCI}의 넓이)+(△CAI\triangle \mathrm{CAI}의 넓이) 이므로 r=r = (가) 이다. 한편, △ABC\mathrm{\triangle} ABC 둘레 길이의 합 a+b+c=a+2r+a + b + c = a + 2 r + (나) 이므로 r=r = (다) 이다. (가) == (다) 이므로 a2=b2+c2a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①a+b+cbc\displaystyle \frac{a + b + c}{bc}CE‾+BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} + \overline{BE}2b+c−a\displaystyle \frac{2}{b + c - a}
②bca+b+c\displaystyle \frac{bc}{a + b + c}AC‾+AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} + \overline{AB}b+c−a2\displaystyle \frac{b + c - a}{2}
③bca+b+c\displaystyle \frac{bc}{a + b + c}CE‾+BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} + \overline{BE}b+c−a2\displaystyle \frac{b + c - a}{2}
④a+b+cbc\displaystyle \frac{a + b + c}{bc}AC‾+AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} + \overline{AB}2b+c−a\displaystyle \frac{2}{b + c - a}
⑤bca+b+c\displaystyle \frac{bc}{a + b + c}CE‾+BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} + \overline{BE}2b+c−a\displaystyle \frac{2}{b + c - a}
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③

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 피타고라스 정리 증명 과정 추론하기 (△ABC\triangle \mathrm{ABC}의 넓이) ==(△ABI\triangle \mathrm{ABI}의 넓이)+(△BCI\triangle \mathrm{BCI}의 넓이)+(△CAI\triangle \mathrm{CAI}의 넓이) 이므로 12bc=12(a+b+c)r\displaystyle \frac{1}{2} bc = \frac{1}{2} ( a + b + c ) r, r=r =□bca+b+c\displaystyle {\square {\frac{bc}{a + b + c}}} CF‾=CE‾\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \overline{CE}, BD‾=BE‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \overline{BE}이므로 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 둘레 길이의 합 a+b+c=a+2r+a + b + c = a + 2 r +□CE‾+BE‾\displaystyle {\square {{\overline{CE}} + {\overline{BE}}}}=2a+2r= 2 a + 2 r, r=□b+c−a2\displaystyle r = {\square {\frac{b + c - a}{2}}} bca+b+c=b+c−a2\displaystyle \frac{bc}{a + b + c} = \frac{b + c - a}{2}이므로 a2=b2+c2a ^{2} = b ^{2} + c ^{2} 이다. 따라서, 피타고라스 정리가 성립한다.

태그

#내접원#피타고라스 정리#빈칸 추론

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