내접원 넓이 급수

그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = 2$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 다음 [단계]와 같은 순서로 도형을 만들어 나간다. [단계 $1$] 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을 그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 $S _{1}$이라 하자. [단계 $2$] [단계 $1$]에서 대각선이 그려지지 않은 직사각형의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을 그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 $S _{2}$라 하자. [단계 $3$] [단계 $2$]에서 대각선이 그려지지 않은 직사각형의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을 그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 $S _{3}$이라 하자. $\vdots$

$\displaystyle \sqrt{2}$ $\cdots$

이와 같은 과정을 계속하여 [단계 $n$]에서 그려진 두 원의 넓이의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle 2 \pi ( 5 - 2 \sqrt{6} )$②$\displaystyle 2 \pi ( 3 - \sqrt{6} )$③$\displaystyle 2 \pi ( 5 - \sqrt{6} )$④$\displaystyle 4 \pi ( 3 - \sqrt{6} )$⑤$\displaystyle 4 \pi ( 5 - \sqrt{6} )$