미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 넓이 급수

문제

그림과 같이 세 변의 길이가 OA1‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{OA} _{1}} = 8, A1B1‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} = 6, OB1‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{OB} _{1}} = 10인 직각삼각형 OA1B1\mathrm{OA} _{1} B _{1}에 내접하는 원 C1{C} _{1}을 만든다. 원 C1{C} _{1}에 접하면서 변 OA1\mathrm{OA} _{1}에 수직인 직선이 두 변 OA1\mathrm{OA} _{1}, OB1\mathrm{OB} _{1}과 만나는 점을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, B2\mathrm{B} _{2}라 하고, △OA2B2\triangle \mathrm{OA} _{2} B _{2}에 내접하는 원 C2C _{2}를 만든다. 원 C2{C} _{2}에 접하면서 변 OA1\mathrm{OA} _{1}에 수직인 직선이 두 변 OA1\mathrm{OA} _{1}, OB1\mathrm{OB} _{1}과 만나는 점을 각각 A3\mathrm{A} _{3}, B3\mathrm{B} _{3}이라 하고, △OA3B3\triangle \mathrm{OA} _{3} B _{3}에 내접하는 원 C3C _{3}을 만든다.

이와 같은 과정을 한없이 계속하여 만든 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}, ⋯\cdots의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}, S3S _{3}, ⋯\cdots이라 할 때, 무한급수 ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 합은? [4점] ①163π\displaystyle \frac{16}{3} \pi②6π6 \pi③203π\displaystyle \frac{20}{3} \pi④7π7 \pi⑤223π\displaystyle \frac{22}{3} \pi

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①

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해설

[출제의도] 도형과 관련된 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 직각삼각형△OA1B1\mathrm{\triangle} OA _{1} B _{1}에서 C1C _{1}의 반지름을 r1r _{1}이라 하고, 내접원이 △OA1B1\mathrm{\triangle} OA _{1} B _{1}와 만나는 접점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}라 하자. A1P‾=A1R‾=r1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} P}} = \overline{A _{1} R} = \mathit{r} _{1}, B1P‾=B1Q‾=6−r1\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} P}} = \overline{B _{1} Q} = \mathit{6} - r _{1}, OP‾=OQ‾=8−r1\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \overline{OQ} = \mathit{8} - r _{1} ∴ OB1‾=OQ‾+QB1‾\displaystyle \mathrm{\overline{OB _{1}}} = \overline{OQ} + \overline{QB _{1}}=8−r1+6−r1=108 - r _{1} + 6 - r _{1} = 10 ∴ r1=2r _{1} = 2 원 C2C _{2}의 반지름을 r2r _{2}라 하면 △OA1B1\mathrm{\triangle} OA _{1} B _{1}󰁀△OA2B2\mathrm{\triangle} OA _{2} B _{2}이고 OA1‾:OA2‾=8:4\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} : \overline{OA _{2}} = 8 : 4 이므로 r1:r2=2:1r _{1} : r _{2} = 2 : 1 즉, r2=12r1\displaystyle r _{2} = \frac{1}{2} r _{1} 마찬가지 방법으로 원 CnC _{n}의 반지름을 rnr _{n}이라 하면, rn=12rn−1\displaystyle r _{n} = \frac{1}{2} r _{n-1}이 성립한다. ∴ rn=2⋅(12)n−1\displaystyle r _{n} = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} ∴ Sn=π⋅4⋅(14)n−1\displaystyle S _{n} = \pi \cdot 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} ∴ ∑n=1∞Sn=4π1−14=16π3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{4 \pi}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{16 \pi}{3}

태그

#등비급수#도형

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