내접원 접점 삼각형 각의 극한

삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$의 내접원이 변 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$, $\mathrm{C} _{1} A _{1}$, $\mathrm{A} _{1} B _{1}$과 접하는 점을 각각 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$의 내접원이 변 $\mathrm{B} _{2} C _{2}$, $\mathrm{C} _{2} A _{2}$, $\mathrm{A} _{2} B _{2}$와 접하는 점을 각각 $\mathrm{A} _{3}$, $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$이라 하자.

$\mathrm{A} \mathit{_{3}}$ $\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{1}}}$ $\mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}}$ $\mathrm{A} \mathit{_{2}}$ $\mathrm{B} \mathit{_{2}}$ $\mathrm{C} \mathit{_{2}}$ $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{1}}}$ $\mathrm{B} \mathit{_{3}}$ $\mathrm{C} \mathit{_{3}}$

이와 같은 방법을 계속할 때, 삼각형 $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}}$의 내접원이 변 ${\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}$, ${\mathrm{C}} _{n} {\mathrm{A}} _{n}$, ${\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}$과 접하는 점을 각각 ${\mathrm{A}} _{n+1}$, ${\mathrm{B}} _{n+1}$, ${\mathrm{C}} _{n+1}$이라 하자. 다음은 삼각형 $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}}$에서 $\mathrm{\angle} B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$의 크기를 $a _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}$의 값을 구하는 과정이다.

${\mathrm{A}} _{n + 1}$ ${\mathrm{B}} _{n + 1}$ ${\mathrm{C}} _{n + 1}$ $\mathrm{A} \mathit{_{\mathit{n}}}$

$\mathrm{\angle} A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} = \mathit{b} _{n}$, $\mathrm{\angle} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}} = \mathit{c} _{n}$, 삼각형 $\mathrm{A} \mathit{_{\mathit{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}}$의 내심을 ${\mathrm{I}} _{n}$이라 하자. $\displaystyle \overline{{\mathrm{I}} _{n} {\mathrm{A}} _{n+1}} \perp \overline{{\mathrm{B}} _{n} {\mathrm{C}} _{n}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{I}} _{n} {\mathrm{C}} _{n+1}} \perp \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}}$이므로 사각형 $\mathrm{I} \mathit{_{\mathit{n}}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n} + 1}} \mathrm{B} \mathit{_{\mathit{n}}} \mathrm{A} \mathit{_{\mathit{n} + 1}}$이 원에 내접한다. 따라서$\displaystyle \angle \mathrm{I} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} = \angle \mathrm{I} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} = \frac{\mathit{1}}{2} b _{n}$이고, 같은 방법으로 $\angle \mathrm{I} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} =$ (가) 이다. $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} b _{n} +$ (가) 이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = - \frac{1}{2} a _{n} +$ (나) 이다. $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} =$ (다)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]