대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접원 호의 길이

문제

반지름의 길이가 44인 원 O\mathrm{O} 위에 ∠BAC=π3\displaystyle \mathrm{\angle} BAC = \frac{\pi}{3}를 만족시키는 세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}가 있다. AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}와 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}에 모두 접하고 원 O\mathrm{O}에 내접하는 원 O′\mathrm{O}'에 대하여 AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}와의 접점을 P\mathrm{P}, AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}와의 접점을 Q\mathrm{Q}, 원 O\mathrm{O}와의 접점을 R\mathrm{R}이라 하자. 세 점 A\mathrm{A}, O\mathrm{O}, O′\mathrm{O}'이 한 직선 위에 있을 때, 호 PRQ\mathrm{PRQ}의 길이는? [4점]

O′\mathrm{O}' π3\displaystyle \frac{\pi}{3}

①53π\displaystyle \frac{5}{3} \pi②73π\displaystyle \frac{7}{3} \pi③259π\displaystyle \frac{25}{9} \pi④103π\displaystyle \frac{10}{3} \pi⑤329π\displaystyle \frac{32}{9} \pi

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 부채꼴의 호의 길이 구하기 O′P‾=r\displaystyle \mathrm{\overline{O' P}} = \mathit{r}이라 하면 ∠APO′=π2\displaystyle \mathrm{\angle} AP O' = \frac{\pi}{2}, ∠O′AP=π6\displaystyle \mathrm{\angle} O' AP = \frac{\pi}{6}이므로 AO′‾=2r\displaystyle \mathrm{\overline{A O'}} = \mathit{2} r 원 O\mathrm{O}의 지름이 88이므로 AR‾=AO′‾+O′R‾\displaystyle \mathrm{\overline{AR}} = \overline{AO'} + \overline{O' R} 3r=83 r = 8 ∴r=83\displaystyle \therefore r = \frac{8}{3}

O′\mathrm{O}' 43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi

호 PRQ\mathrm{PRQ}의 중심각은 43π\displaystyle \frac{4}{3} \pi이므로 호 PRQ\mathrm{PRQ}의 길이는 83×43π=329π\displaystyle \frac{8}{3} \times \frac{4}{3} \pi = \frac{32}{9} \pi

태그

#호의 길이#원

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