미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 반지름 급수

문제

반지름의 길이가 11인 원 C\mathrm{C}가 있다. 원 C\mathrm{C}를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C1\mathrm{C} _{1}, 원 C1\mathrm{C} _{1}을 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C2\mathrm{C} _{2}, 원 C2\mathrm{C} _{2}를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 C3\mathrm{C} _{3}, ⋮\vdots 이와 같은 과정을 계속하여 얻어진 원 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞∑k=1nrk\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} r _{k}의 값은? [4점] ⋯\cdots

①12\displaystyle \frac{1}{2}②1+24\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{4}③22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}④2+24\displaystyle \frac{2 + \sqrt{2}}{4}⑤11

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③

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해설

원 C\mathrm{C}와 C1\mathrm{C} _{1}의 반지름의 길이를 각각 rr과 r1r _{1}이라 하면 r=1r = 1, 2r1+r1=1\displaystyle \sqrt{2} r _{1} + r _{1} = 1이므로 r1=12+1=2−1\displaystyle r _{1} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = {\sqrt{2} - 1}, r:r1=rn:rn+1=1:2−1\displaystyle r : r _{1} = r _{n} : r _{n + 1} = 1 : \sqrt{2} - 1 lim⁡n→∞∑k=1nrk=2−11−(2−1)=22\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} r _{k} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 - ( \sqrt{2} - 1 )}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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#등비급수#도형

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