내접원 반지름 극한

[출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

$\angle {\mathrm{B} OQ} = \theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O} B} = 1$이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{O} QB} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} Q} = \sin \theta$ 또, $\angle {\mathrm{R} QB}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \angle {\mathrm{Q} BR}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$$= \theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B} Q} = \sin \theta$이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{B} RQ} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} R} = \sin ^{2} \theta$, $\displaystyle \overline{\mathrm{R} Q} = \sin \theta \cos \theta$ 삼각형 $\mathrm{B} RQ$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{B} R} \times \overline{\mathrm{R} Q}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\mathrm{s} \in} ^{2} \theta \times \sin \theta \cos \theta$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{B} RQ$에 내접하는 원의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \times r ( \theta ) \times \left( \sin \theta + \sin \theta \cos \theta + \sin ^{2} \theta \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해서 $\displaystyle r ( \theta ) = \frac{\sin ^{2} \theta \cos \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{r ( \theta )}{\theta ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\sin ^{2} \theta \cos \theta}{\theta ^{2} ( 1 + \sin \theta + \cos \theta )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta}$ $\displaystyle = 1 \times \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$