미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

내접원 반지름 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하고 중심이 O\mathrm{O}인 반원이 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PAB=θ\mathrm{\angle} PAB = \theta라 하고, 점 O\mathrm{O}를 지나고 선분 AP\mathrm{AP}에 수직인 직선이 호 AP\mathrm{AP}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 선분 AP\mathrm{AP}와 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. 삼각형 PQR\mathrm{PQR}에 내접하는 원의 반지름을 f(θ)f ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→π2−f(θ)(π2−θ)2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {\frac{f ( \theta )}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) ^{2}}}의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}) [4점]

f(θ)f \left( \theta \right) θ\theta

①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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①

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해설

θ\mathrm{\theta} 2θ2 \mathrm{\theta}

삼각형 ORA\mathrm{ORA}에서 ∠OAR=θ\mathrm{\angle} OAR = \theta이므로 OR‾=sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = \sin \theta, QR‾=1−sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = 1 - \sin \theta이고 PR‾=AR‾=cos⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = {\overline{\mathrm{AR}}} = \cos \theta 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에서 ∠POQ=π2−θ\displaystyle \mathrm{\angle} POQ = \frac{\pi}{2} - \theta OP‾=OQ‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = {\overline{\mathrm{OQ}}} = 1이므로 ∠OQP=∠OPQ\mathrm{\angle} OQP = \angle OPQ이고 ∠OQP=12{π−(π2−θ)}=π4+θ2\displaystyle \angle \mathrm{OQP} = \frac{1}{2} \left\{ \pi - \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \right\} = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} 삼각형 QRP\mathrm{QRP}의 내접원의 중심을 C\mathrm{C}라 하고 점 C\mathrm{C}에서 선분 QR\mathrm{QR}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 삼각형 QHC\mathrm{QHC}에서 tan⁡(π8+θ4)=f(θ)QH‾\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right) = \frac{f ( \theta )}{{\overline{\mathrm{QH}}}}이므로 QR‾=QH‾+HR‾=f(θ)tan⁡(π8+θ4)+f(θ)=1−sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = {\overline{\mathrm{QH}}} + {\overline{\mathrm{HR}}} = \frac{f ( \theta )}{\tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right)} + f ( \theta ) = 1 - \sin \theta ∴\therefore f(θ)=(1−sin⁡θ)×tan⁡(π8+θ4)1+tan⁡(π8+θ4)\displaystyle f ( \theta ) = \frac{\left( 1 - \sin \theta \right) \times \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right)}{1 + \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right)} π2−θ=t\displaystyle \frac{\pi}{2} - \theta = t라 하면 θ→π2−\displaystyle \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -일 때, t→0+t \rightarrow 0 +이므로 lim⁡θ→π2−f(θ)(π2−θ)2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {\frac{f ( \theta )}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) ^{2}}} =lim⁡θ→π2−1(π2−θ)2×(1−sin⁡θ)×tan⁡(π8+θ4)1+tan⁡(π8+θ4)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {\frac{1}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) ^{2}} \times \frac{\left( 1 - \sin \theta \right) \times \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right)}{1 + \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\theta}{4} \right)}} =lim⁡t→0+1t2×(1−cos⁡t)×tan⁡(π4−t4)1+tan⁡(π4−t4)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{1}{t ^{2}} \times \frac{\left( 1 - \cos t \right) \times \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{t}{4} \right)}{1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{t}{4} \right)}} =lim⁡t→0+sin⁡2tt2×tan⁡(π4−t4)1+tan⁡(π4−t4)×11+cos⁡t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {{\frac{\sin ^{2} t}{t ^{2}} \times \frac{\tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{t}{4} \right)}{1 + \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{t}{4} \right)} \times \frac{1}{1 + \cos t}}} =14\displaystyle = \frac{1}{4}

태그

#삼각함수 극한#도형

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