미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 반복 넓이 급수

문제

반지름의 길이가 11인 원 OO가 있다. 원 OO의 중심에서 서로 외접하고 원 OO에 내접하는 두 원 A1,A1′A _{1} , A _{1}'을 그린 후 두 원 A1A _{1}과 A1′A _{1}'에 외접하며 원 OO에 내접하는 두 원 B1,B1′B _{1} , B _{1}'을 그려서 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 새로 그려진 네 원 A1,A1′,B1,B1′A _{1} , A _{1}' , B _{1} , B _{1}'의 내부에 그림 R1R _{1}의 제작과정을 반복하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻어진 그림을 RnR _{n}이라 하자. 또한, 그림 R1,R2,⋯ ,Rn,⋯R _{1,} R _{2,} \cdots , R _{n} , \cdots각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 RnR _{n}의 어두운 부분의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①π\pi②95π\displaystyle \frac{9}{5} \pi③135π\displaystyle \frac{13}{5} \pi④175π\displaystyle \frac{17}{5} \pi⑤215π\displaystyle \frac{21}{5} \pi

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③

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해설

원 O1,A1,B1O _{1} , A _{1} , B _{1}의 중심을 각각 O,A,BO , A , B라 하면 R1R _{1}의 내부의 큰 원의 반지름은 12\displaystyle \frac{1}{2}이고, 작은 원의 반지름을 rr이라 하면 (12+r)2=(12)2+(1−r)2\displaystyle \left( \frac{1}{2} + r \right) ^{2} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + ( 1 - r ) ^{2} 이므로 r=13\displaystyle r = \frac{1}{3}이다. 작은 원의 반지름의 길이가 13\displaystyle \frac{1}{3}이다. 따라서 R1R _{1}의 어두운 부분의 넓이는 1318π\displaystyle \frac{13}{18} \pi이다. 넓이의 합 SnS _{n}은 공비가 1318\displaystyle \frac{13}{18}인 등비수열이므로 ∑n=1∞Sn=1318π1−1318=135π\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{13}{18} \pi}{1 - \frac{13}{18}} = \frac{13}{5} \pi이다.

태그

#무한등비급수#원

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