내접원 반복 도형 급수

[출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기 그림 $R _{n}$에서 가장 작은 원의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하고, 그림 $R _{n}$을 얻는 과정에서 그린 모든 모양들의 넓이의 합을 $a _{n}$이라 하자.

$1 - r _{1}$

위의 그림에서 $\left( 1 - r _{1} \right) : r _{1} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle r _{1} = \frac{1}{3}$이다. $S _{1}$은 직각삼각형의 넓이에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 중심각의 크기가 $60 ^\circ$인 부채꼴의 넓이를 뺀 값의 $12$배와 같으므로 $\displaystyle S _{1} = \left\{ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} - \pi \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} \right\} \times 12 = \frac{6 \sqrt{3} - 2 \pi}{9}$ 이다.

$r _{n + 1}$ $r _{n} - r _{n + 1}$

$\left( r _{n} - r _{n + 1} \right) : r _{n + 1} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{3} r _{n}$이다. $a _{n + 1} : a _{n} = 6 \left( r _{n + 1} \right) ^{2} : \left( r _{n} \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = 6 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} a _{n} = \frac{2}{3} a _{n}$, $a _{1} = S _{1}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$$\displaystyle = \frac{a _{1}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{S _{1}}{1 - \frac{2}{3}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} - \frac{2}{3} \pi$ 따라서 $a = 2$, $\displaystyle b = - \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3}$이다. [다른 풀이]

반지름의 길이가 $1$인 원에 내접하는 작은 원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $1 - r = 2 r$이므로 $\displaystyle r = \frac{1}{3}$이다. $S _{1}$은 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 정삼각형 $6$개의 넓이의 합에서 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 중심각의 크기가 $120 ^\circ$인 부채꼴 $6$개의 넓이의 합을 뺀 것과 같으므로 $\displaystyle S _{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times 6 - \pi \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ} \times 6 = \frac{6 \sqrt{3} - 2 \pi}{9}$ 이다. $\displaystyle S _{2} = S _{1} + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) \times 6 = S _{1} + \frac{2}{3} S _{1}$ $\displaystyle S _{3} = S _{1} + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) \times 6 + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) ^{2} \times 6 ^{2} =$$\displaystyle S _{1} + \frac{2}{3} S _{1} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} S _{1}$ $\vdots$ $\displaystyle S _{n} = S _{1} + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) \times 6 + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) ^{2} \times 6 ^{2} + \cdots + \left( \frac{S _{1}}{9} \right) ^{n - 1} \times 6 ^{n - 1}$ $\displaystyle = S _{1} + \frac{2}{3} S _{1} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} S _{1} + \cdots + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1} S _{1}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \frac{S _{1}}{1 - \frac{2}{3}}$$\displaystyle = \frac{\frac{6 \sqrt{3} - 2 \pi}{9}}{\frac{1}{3}}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{3} - 2 \pi}{3}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} - \frac{2 \pi}{3}$ 따라서 $a = 2$, $\displaystyle b = - \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3}$이다.