내접사각형과 내접원

$\angle {\mathrm{ADB}}$, $\angle {\mathrm{ACB}}$는 호 ${\mathrm{AB}}$에 대한 원주각이므로 $\angle {\mathrm{ADB}} = \angle {\mathrm{ACB}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\angle {\mathrm{ABD}}$, $\angle {\mathrm{ACD}}$는 호 ${\mathrm{AD}}$에 대한 원주각이므로 $\angle {\mathrm{ABD}} = \angle {\mathrm{ACD}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 선분 ${\mathrm{AC}}$가 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$에 내접하는 원 $C _{2}$의 넓이를 이등분하므로 $\angle {\mathrm{ACB}} = \angle {\mathrm{ACD}}$ ㉠, ㉡에 의하여 $\angle {\mathrm{ABD}} = \angle {\mathrm{ADB}}$이므로 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$는 이등변삼각형이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} = 2$ $\displaystyle \angle {\mathrm{ACB}} = \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sin \theta} = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{21}}{7}$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = x$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} + x ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times x \times \cos \theta$ $\displaystyle 4 = 7 + x ^{2} - 2 \times \sqrt{7} \times x \times \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $x ^{2} - 4 x + 3 = 0$, $\left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) = 0$ $x = 1$ 또는 $x = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = y$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ACD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} + y ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times y \times \cos \theta$ $\displaystyle 4 = 7 + y ^{2} - 2 \times \sqrt{7} \times y \times \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $y ^{2} - 4 y + 3 = 0$, $\left( y - 1 \right) \left( y - 3 \right) = 0$ $y = 1$ 또는 $y = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} > {\overline{\mathrm{CD}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 1$ 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2 ^{2} + {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times 2 \times {\overline{\mathrm{BD}}}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{8 \sqrt{7}}{7}$ 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$에서 $\angle {\mathrm{BCD}} = 2 \theta$이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{\sin 2 \theta} = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$, $\displaystyle \sin 2 \theta = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ 원 $C _{2}$의 반지름의 길이를 $r$, 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times r \times \left( {\overline{\mathrm{BC}}} + {\overline{\mathrm{CD}}} + {\overline{\mathrm{BD}}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times \sin 2 \theta$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times r \times \left( 3 + 1 + \frac{8 \sqrt{7}}{7} \right) = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 \times \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ $\displaystyle r = \sqrt{3} - \frac{2}{7} \sqrt{21}$