대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접사각형 원 넓이

문제

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 ABCD\mathrm{A} BCD가 AB‾=10\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 10, AD‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 2, cos⁡(∠BCD)=35\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{BCD} \mathit{)} = \frac{3}{5}을 만족시킨다. 이 원의 넓이가 aπa \pi일 때, aa의 값을 구하시오. [4점]

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50

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해설

[출제의도] 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 원의 넓이를 구한다.

사각형 ABCD\mathrm{A} BCD가 원에 내접하므로 ∠BCD=θ\angle {\mathrm{B} CD} = \theta(0<θ<π0 < \theta < {\pi}) 라 하면 ∠BAD=π−θ\angle \mathrm{BAD} \mathit{=} \pi - \theta 선분 BD\mathrm{B} D의 길이를 xx라 하고, 삼각형 ABD\mathrm{A} BD에서 코사인법칙을 이용하면 x2=22+102−2×2×10×cos⁡(π−θ)x ^{2} = 2 ^{2} + 10 ^{2} - 2 \times 2 \times 10 \times \cos ( \pi - \theta ) =104+40cos⁡θ= 104 + 40 \cos \theta=104+40×35\displaystyle = 104 + 40 \times \frac{3}{5}=128= 128 ∴ x=128=82\displaystyle x = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2} sin⁡θ=1−cos⁡2θ=1−925=45\displaystyle \sin \theta = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5} 삼각형 BCD\mathrm{B} CD의 외접원의 반지름의 길이를 RR라 하고 사인법칙을 이용하면 82sin⁡θ=2R\displaystyle \frac{8 \sqrt{2}}{\sin \theta} = 2 R R=52\displaystyle R = 5 \sqrt{2}이므로 외접원의 넓이는 π(52)2=50π\displaystyle \pi ( 5 \sqrt{2} ) ^{2} = 50 \pi ∴ a=50a = 50

태그

#사인법칙#코사인법칙

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