내접사각형 둘레

[출제의도] 원의 성질과 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각방정식의 해를 구한다. $\mathrm{\angle} DBA = \theta$라 하자. 조건 (나)에서 $\mathrm{\angle} CBA = 2 \theta$, $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} ADB = \angle ACB = \frac{\pi}{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{ADB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sin \theta$ 직각삼각형 $\mathrm{ACB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \cos 2 \theta$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이가 $\displaystyle \frac{19}{8}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} + \overline{DC} + \overline{CB} + \overline{BA}$ $= \sin \theta + \sin \theta + \cos 2 \theta + 1$ $= 2 \sin \theta + 1 - 2 \sin ^{2} \theta + 1$ $\displaystyle = \frac{19}{8}$ $\displaystyle \sin ^{2} \theta - \sin \theta + \frac{3}{16} = 0$ $16 \sin ^{2} \theta - 16 \sin \theta + 3 = 0$ $( 4 \sin \theta - 3 ) ( 4 \sin \theta - 1 ) = 0$ ∴ $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{4}$ $\displaystyle \left( \because 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right)$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sin \theta = \frac{1}{4}$이므로 $p + q = 4 + 1 = 5$