공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접하는 원

문제

그림과 같이 원 O1O _{1}은 원점 OO를 중심으로 하고, 점 A(−1,0)A \left( - 1 , 0 \right)을 지난다. 원 O2O _{2}는 직선 x−3y+1=0x - 3 y + 1 = 0 위의 점 CC를 중심으로 하고, 원 O1O _{1}에 내접하며 xx축 위의 점 BB에서 xx축에 접한다. 삼각형 ABCABC 의 넓이를 qp\displaystyle \frac{q}{p}라 할 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 원의 외접과 내접 조건 이해하기 원 O2O _{2}의 중심을 C(a,b)C \left( a , b \right)라고 하면 원 O2O _{2}는 xx축에 내접하므로 반지름이 bb이고 중점 CC가 직선 x−3y+1=0x - 3 y + 1 = 0 위에 있으므로 a−3b+1=0a - 3 b + 1 = 0이다. 원 O2O _{2}는 원 O1O _{1}에 내접하므로 두 원의 중심 사이의 거리가 반지름의 차와 같다. OC‾=a2+b2=1−b\displaystyle \overline{OC} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 1 - b a=3b−1a = 3 b - 1를 식 a2+b2=1−b\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 1 - b에 대입하여 풀면 a=13,b=49\displaystyle a = \frac{1}{3} , b = \frac{4}{9}이다. 그러므로 세 점 A(−1,0),B(13,0),C(13,49)\displaystyle A \left( - 1 , 0 \right) , B \left( \frac{1}{3} , 0 \right) , C \left( \frac{1}{3} , \frac{4}{9} \right) 을 꼭지점으로 갖는 삼각형 ABC의 넓이는 827\displaystyle \frac{8}{27} ∴p+q=35\therefore p + q = 35

태그

#원의 방정식#두 원의 위치 관계

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