미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접하는 세 원 급수

문제

반지름의 길이가 33인 원 O1O _{1}이 있다. 그림과 같이 원 O1O _{1}에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 A1A _{1}, B1B _{\mathit{1}}, C1C _{1}의 중심을 지나는 원을 O2O _{2}라 하자. 원 O2O _{2}에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 A2A _{2}, B2B _{2}, C2C _{2}의 중심을 지나는 원을 O3O _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 그린 원 OnO _{\mathit{n}}의 둘레의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}의 값은? [4점]

①(5+43)π\displaystyle \left( 5 + 4 \sqrt{3} \right) \pi②(6+43)π\displaystyle \left( 6 + 4 \sqrt{3} \right) \pi③(7+43)π\displaystyle \left( 7 + 4 \sqrt{3} \right) \pi④(8+43)π\displaystyle \left( 8 + 4 \sqrt{3} \right) \pi⑤(9+43)π\displaystyle \left( 9 + 4 \sqrt{3} \right) \pi

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②

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 수학내적문제 해결하기 원 AnA _{n}의 반지름의 길이를 ana _{n}, 원 OnO _{n}의 반지름의 길이를 rnr _{n}라 하면 r1=3r _{1} = 3, an=32rn+1\displaystyle a _{n} = \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n + 1}, rn−rn+1=anr _{n} - r _{n + 1} = a _{n}이므로 rn−rn+1=32rn+1\displaystyle r _{n} - r _{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n + 1}, rn+1(1+32)=rn\displaystyle r _{n + 1} \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = r _{n} rn+1=22+3rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} r _{n}, rn+1=2(2−3)rn\displaystyle r _{n + 1} = 2 \left( 2 - \sqrt{3} \right) r _{n} 따라서 ∑n=1∞ln=6π1−(4−23)=(6+43)π\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \frac{6 \pi}{1 - ( 4 - 2 \sqrt{3} )} = ( 6 + 4 \sqrt{3} ) \pi

태그

#등비급수#원

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