내접 직사각형 넓이

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의 길이를 $x$, $y$라고 하면 $S _{1} = xy$이고, 닮음비에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \frac{5}{3} x + \frac{5}{4} y = 10$ ∴ $4 x + 3 y = 24$ 산술 · 기하평균에서 $\displaystyle 24 = 4 x + 3 y \geq 2 \sqrt{4 x \times 3 y}$ (단, 등호는 $4 x = 3 y$일 때 성립) $\displaystyle 12 \geq \sqrt{12 xy}$, $12 xy \leq 144$, $S _{1} = xy \leq 12$ 따라서 $S _{1}$의 최댓값은 $12$이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 $4 x = 3 y = 12$, 즉 $x = 3$, $y = 4$일 때 $S _{1}$이 최대이다. 따라서 $S _{1}$이 최대일 때 직사각형의 둘레의 길이는 $14$이다. (참) ㄷ. 그림과 같이 직사각형의 두 변의 길이를 $x$, $y$라고 하면 $S _{2} = xy$이고, 닮음비에 의해 $\displaystyle \frac{4}{3} x + y + \frac{3}{4} x = 10$에서 $16 x + 12 y + 9 x = 120$, $25 x + 12 y = 120$ $\displaystyle 120 = 25 x + 12 y \geq 2 \sqrt{25 x \times 12 y}$$\displaystyle = 10 \sqrt{12 xy}$ (단, 등호는 $25 x = 12 y$일 때 성립) $\displaystyle \sqrt{12 xy} \leq 12$, $12 xy \leq 144$, $S _{2} = xy \leq 12$ 따라서 $S _{1}$의 최댓값과 $S _{2}$의 최댓값은 같다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.