내접 정사각형과 곱셈공식

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$가 $\angle {\mathrm{A}} \mathit{=} 90 ^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$에서 $x ^{2} + y ^{2} = 10$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{APS}}$가 서로 닮음이고 닮음비 가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{PS}}} = \sqrt{10} : \frac{2 \sqrt{10}}{7} = 7 : 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = \frac{2}{7} x$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AS}}} = \frac{2}{7} y$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{SC}}} = \frac{5}{7} y$ 삼각형 $\mathrm{APS}$와 삼각형 ${\mathrm{RSC}}$가 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PS}}} : {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{SC}}} : {\overline{\mathrm{RS}}}$에서 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{10}}{7} : \frac{2 x}{7} = \frac{5 y}{7} : \frac{2 \sqrt{10}}{7}$ $10 x y = 40$, $x y = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\left( x - y \right) ^{2}$$= x ^{2} + y ^{2} - 2 xy$$= 10 - 2 \times 4 = 2$ $x > y$이므로 $\displaystyle x - y = \sqrt{2}$ 따라서 $x ^{3} - y ^{3}$$= ( x - y ) ^{3} + 3 x y ( x - y )$ $\displaystyle = ( \sqrt{2} ) ^{3} + 3 \times 4 \times \sqrt{2}$ $\displaystyle = 14 \sqrt{2}$ [다른 풀이] $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = \frac{\sqrt{10}}{7} a \left( 0 < a < 5 \right)$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{CR}}}$$\displaystyle = \overline{{\mathrm{BC}}} - \overline{{\mathrm{BQ}}} - \overline{{\mathrm{QR}}}$ $\displaystyle = \sqrt{10} - \frac{\sqrt{10}}{7} a - \frac{2 \sqrt{10}}{7}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{7} ( 5 - a )$ 삼각형 ${\mathrm{QBP}}$와 삼각형 ${\mathrm{RSC}}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{PQ}}}}{{\overline{\mathrm{BQ}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{CR}}}}{{\overline{\mathrm{SR}}}}$에서 $\displaystyle \frac{\frac{2 \sqrt{10}}{7}}{\frac{\sqrt{10}}{7} a} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{7} \left( 5 - a \right)}{\frac{2 \sqrt{10}}{7}}$, $\displaystyle \frac{2}{a} = \frac{5 - a}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \frac{2}{a} = \frac{5 - a}{2}$에서 $a ^{2} - 5 a + 4 = 0$이고 $( a - 1 ) ( a - 4 ) = 0$, $a = 1$ 또는 $a = 4$이다. 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$가 $\angle {\mathrm{A}} \mathit{=} 90 ^\circ$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$에서 $x ^{2} + y ^{2} = 10.$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅰ) $a = 1$일 때 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{QBP}}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{CA}}}}{\overline{{\mathrm{BA}}}} = \frac{\overline{{\mathrm{PQ}}}}{\overline{{\mathrm{BQ}}}}$에서 $\displaystyle \frac{y}{x} = 2$, $y = 2 x$ $x > 0$, $y > 0$이므로 $x < y$가 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = 4$일 때 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$와 삼각형 ${\mathrm{QBP}}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{CA}}}}{\overline{{\mathrm{BA}}}} = \frac{\overline{{\mathrm{PQ}}}}{\overline{{\mathrm{BQ}}}}$에서 $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{1}{2}$, $x = 2 y$ ㉠에 대입하여 $x$, $y$의 값을 구하면 $( 2 y ) ^{2} + y ^{2} = 10$, $y ^{2} = 2$, $x > 0$, $y > 0$이므로 $\displaystyle x = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle y = \sqrt{2}$ $x ^{3} - y ^{3}$$\displaystyle = ( 2 \sqrt{2} ) ^{3} - ( \sqrt{2} ) ^{3}$ $\displaystyle = 16 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle = 14 \sqrt{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle x ^{3} - y ^{3} = 14 \sqrt{2}$