기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내적 표와 거리 대소

문제

좌표공간에서 원점에 대한 세 점 A,B,C\mathrm{A} , B , C의 위치벡터를 차례로 a⃗{\vec{a}}, b⃗{\vec{b}}, c⃗{\vec{c}}라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같다.

예를 들어 a⃗⋅b⃗=−2\displaystyle {\vec{a}} \cdot {\vec{b}} = - \sqrt{2}이다. 세 점 A,B,C\mathrm{A} , B , C에 대하여 두 점 사이의 거리의 대소 관계로 옳은 것은? [4점] ①AB‾<AC‾<BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} < {\overline{AC}} < {\overline{BC}}②AB‾<BC‾<AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} < {\overline{BC}} < {\overline{AC}}③AC‾<AB‾<BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} < {\overline{AB}} < {\overline{BC}}④BC‾<AB‾<AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} < {\overline{AB}} < {\overline{AC}}⑤BC‾<AC‾<AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} < {\overline{AC}} < {\overline{AB}}

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②

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가? AB‾=∣AB⃗∣\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \left| \vec{AB} \right|=∣OB⃗−OA⃗∣\mathrm{=} \left| \vec{OB} - \vec{OA} \right|=∣b⃗−a⃗∣= \left| \vec{b} - \vec{a} \right| ∣b⃗−a⃗∣2=∣b⃗∣2−2b⃗∙a⃗+∣a⃗∣2\left| \vec{b} - \vec{a} \right| ^{2} = \left| \vec{b} \right| ^{2} - 2 \vec{b} \bullet \vec{a} + \left| \vec{a} \right| ^{2}=2−2+2=2= 2 - 2 + 2 = 2 ∴AB‾2=2\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{AB} ^{2} = 2⋯㉠\cdots \text{㉠} BC‾=∣BC⃗∣\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \left| \vec{BC} \right|=∣OC⃗−OB⃗∣\mathrm{=} \left| \vec{OC} - \vec{OB} \right|=∣c⃗−b⃗∣= \left| \vec{c} - \vec{b} \right| ∣c⃗−b⃗∣2=∣c⃗∣2−2c⃗∙b⃗+∣b⃗∣2\left| \vec{c} - \vec{b} \right| ^{2} = \left| \vec{c} \right| ^{2} - 2 \vec{c} \bullet \vec{b} + \left| \vec{b} \right| ^{2}=2−2×0+2=4= 2 - 2 \times 0 + 2 = 4 ∴BC‾2=4\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = 4⋯㉡\cdots \text{㉡} AC‾=∣AC⃗∣\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \left| \vec{AC} \right|=∣OC⃗−OA⃗∣\mathrm{=} \left| \vec{OC} - \vec{OA} \right|=∣c⃗−a⃗∣= \left| \vec{c} - \vec{a} \right| ∣c⃗−a⃗∣2=∣c⃗∣2−2c⃗∙a⃗+∣a⃗∣2\left| \vec{c} - \vec{a} \right| ^{2} = \left| \vec{c} \right| ^{2} - 2 \vec{c} \bullet \vec{a} + \left| \vec{a} \right| ^{2}=2−2×(−2)+2=4+22\displaystyle = 2 - 2 \times ( - \sqrt{2} ) + 2 = 4 + 2 \sqrt{2} ∴AC‾2=4+22\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AC}} ^{2} = 4 + 2 \sqrt{2}⋯㉢\cdots \text{㉢} ㉠,㉡,㉢\text{㉠} , \text{㉡} , \text{㉢}에서 AB‾2<BC‾2<AC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} < \overline{BC} ^{2} < \overline{AC} ^{2}이므로 AB‾<BC‾<AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} < \overline{BC} < \overline{AC}

태그

#벡터의 내적#거리

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