내적 조건 삼각형 넓이

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 꼭짓점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{3} k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\vec{AB}} \mathit{\cdot} \mathrm{\vec{AC}} \mathit{=} \frac{1}{3} \left| \mathrm{\vec{AB}} \right| ^{2} = \mathit{3} k \times k$ 즉, 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이다

또 $\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{CB}$$= \mathrm{\vec{BA}} \mathit{\cdot} \mathrm{\vec{BC}} \mathit{=} \mathit{3} k \times 2 k = 6 k ^{2}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{5} \left| \mathrm{\vec{AC}} \right| ^{2} = \mathit{6} k ^{2}$, $\displaystyle \left| \mathrm{\vec{AC}} \right| = \sqrt{15} \mathit{k}$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} \mathit{=} \sqrt{15 k ^{2} - k ^{2}} = \sqrt{14} k$ 닮음인 두 삼각형 $\mathrm{AHC}$와 $\mathrm{ABD}$의 길이의 비는 $1 : 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} \mathit{:} \mathrm{\overline{BD}} \mathit{=} 1 : 3$, $\displaystyle \sqrt{14} k : \sqrt{42} = 1 : 3$ $\therefore$$\displaystyle k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\therefore$$\triangle \mathrm{ABC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{AB}}} \times {\mathrm{\overline{HC}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 k \times \sqrt{14} k$ $\displaystyle = \frac{3 \sqrt{14}}{2} k ^{2}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{14}}{2}$