내분점과 무게중심

[출제의도] 이등변삼각형의 성질과 두 직선의 위치 관계를 이용하여 문제를 해결한다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \mathit{\left( \frac{0 + 18}{2} , \frac{6 + 0}{2} \right)}$ 즉 $\mathrm{M} \left( 9 , 3 \right)$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp {\overline{CM}}$ 따라서 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CM}$의 기울기의 곱은 $- 1$이다. 이때 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{0 - 6}{18 - 0} = \mathit{-} \frac{1}{3}$ 이므로 직선 $\mathrm{CM}$의 기울기는 $3$이다. 직선 $\mathrm{CM}$이 점 $\mathrm{M} \left( 9 , 3 \right)$을 지나므로 그 방정식은 $y = 3 \left( x - 9 \right) + 3$ 즉 $y = 3 x - 24$ 이때 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( a , b \right)}$는 직선 $y = 3 x - 24$ 위의 점이므로 $b = 3 a - 24$ …… ㉠ 두 선분 $\mathrm{CM}$, $\mathrm{PQ}$의 교점을 $\mathrm{N}$이라 하자. 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{CPQ}$의 무게중심이므로

$\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} = \frac{2}{3} {\overline{CN}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} : {\overline{\mathrm{NC}}} = {\overline{\mathrm{AP}}} : {\overline{\mathrm{PC}}} = 1 : 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CN}}} = \frac{3}{4} \mathrm{\overline{CM}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{2}{3} \times {\overline{CN}}$$\displaystyle = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \mathrm{\times} {\overline{CM}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{CM}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = 2 {\overline{CG}} = 2 \sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \sqrt{( a - 9 ) ^{2} + ( b - 3 ) ^{2}} = 2 \sqrt{10}$ …… ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 $\left( a - 9 \right) ^{2} + \left( 3 a - 24 - 3 \right) ^{2} = 40$ $\left( a - 9 \right) ^{2} = 4$ $a = 7$ 또는 $a = 11$ 따라서 점 $\left( a , b \right)$는 $\left( 7 , - 3 \right)$ 또는 $\left( 11 , 9 \right)$ 점 $\mathrm{C}$는 제$1$사분면 위의 점이므로 $\mathrm{C} \left( 11 , 9 \right)$ $a + b = 11 + 9 = 20$