공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내분점과 거리

문제

두 점 A\mathrm{A}(a,0)\left( a , 0 \right), B\mathrm{B}(2,−4)\left( 2 , - 4 \right)에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}를 3:13 : 1로 내분하는 점이 yy축 위에 있을 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는? [3점] ①25\displaystyle 2 \sqrt{5}②35\displaystyle 3 \sqrt{5}③45\displaystyle 4 \sqrt{5}④55\displaystyle 5 \sqrt{5}⑤65\displaystyle 6 \sqrt{5}

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③

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해설

[출제의도] 선분의 내분을 이해하여 선분의 길이를 구한다. 두 점 A(a,0){\mathrm{A} \mathit{\left( a , 0 \right)}}, B(2,−4){\mathrm{B} \mathit{\left( 2 , - 4 \right)}}에 대하여 선분 AB{\mathrm{AB}}를 3:1{3 : 1}로 내분하는 점의 좌표는 (3×2+1×a3+1,3×(−4)+1×03+1)\displaystyle {\left( \frac{3 \times 2 + 1 \times a}{3 + 1} , \frac{3 \times ( - 4 ) + 1 \times 0}{3 + 1} \right)} 즉, (6+a4,−3)\displaystyle {\left( \frac{6 + a}{4} , - 3 \right)} 이 점이 y{y}축 위에 있으므로 6+a4=0\displaystyle {\frac{6 + a}{4} = 0}에서 a=−6{a = \mathit{-} 6} 따라서 점 A{\mathrm{A}}의 좌표는 (−6,0){\left( - 6 , 0 \right)}이므로 AB‾\displaystyle {{\overline{\mathrm{AB}}}}={2−(−6)}2+(−4−0)2\displaystyle {\mathit{=} \sqrt{\left\{ 2 - \left( - 6 \right) \right\} ^{2} + \left( - 4 - 0 \right) ^{2}}}=80\displaystyle {= \sqrt{80}}=45\displaystyle {= 4 \sqrt{5}}

태그

#내분점#두 점 사이의 거리

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