대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내분점과 등비수열

문제

수직선 위의 두 점 $\mathrm{A} ( \mathit{x} )$ , $\mathrm{B} ( 6 )$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{C} ( \mathit{y} )$ 라 하자. $x$ , $y$ , $6$ 이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $x$ 의 값은? (단, $x < 6$ ) [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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③

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해설

[출제의도] 등비중항을 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{C}$ 는 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표 $\displaystyle y = \frac{6 + 2 x}{3}$ 이다. $x$ , $\displaystyle \frac{6 + 2 x}{3}$ , $6$ 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $\displaystyle \left( \frac{6 + 2 x}{3} \right) ^{2} = 6 x$ 이다. $2 x ^{2} - 15 x + 18 = 0$ 따라서 $( 2 x - 3 ) ( x - 6 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ $\left( \because x < 6 \right)$

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