미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

내분점으로 정의된 수열의 극한이 정수가 되는 t의 개수

문제

자연수 nn에 대하여 수직선 위의 점 An(xn)\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathit{\left( x _{n} \right)}이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 aa의 값의 합은? (가) x1=1,x2=ax _{1} = 1 , x _{2} = a (단, aa는 자연수) (나) An+2\mathrm{A} _{\mathit{n} + 2}는 선분 AnAn+1\mathrm{A} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}을 1−t:t1 - t : t로 내분하는 점이다. (단, 0<t<10 < t < 1) (다) lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x _{n}}의 값이 정수가 되게 하는 실수 tt의 개수는 1111이다.

①4545②4747③4949④5151⑤5353

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③ 4949

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해설

조건 (나)에 의해서 다음 점화식이 성립한다. xn+2=txn+(1−t)xn+1x _{n+2} = t x _{n} + ( 1 - t ) x _{n+1} 위 식을 변형하면 xn+2−xn+1=−t(xn+1−xn)x _{n+2} - x _{n+1} = - t ( x _{n+1} - x _{n} ) 따라서 {xn+1−xn}\left\{ x _{n+1} - x _{n} \right\}은 첫째항이 a−1a - 1이고 공비가 −t- t인 등비수열을 이룬다. ∴ xnx _{n}=x1+∑k=1n−1(xk+1−xk)\displaystyle = x _{1} + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( x _{k+1} - x _{k} ) =1+∑k=1n−1(a−1)(−t)k−1\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( a - 1 ) ( - t ) ^{k-1} ∴ lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} x _{n}=1+∑n=1∞(a−1)(−t)n−1\displaystyle = 1 + \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a - 1 ) ( - t ) ^{n-1} =1+a−11+t\displaystyle = 1 + \frac{a - 1}{1 + t} 분수함수 y=1+a−11+t\displaystyle y = 1 + \frac{a - 1}{1 + t}는 t>−1t > - 1인 범위에서 감소하므로 0<t<10 < t < 1에서 a+12<\displaystyle \frac{a + 1}{2} <1+a−11+t\displaystyle 1 + \frac{a - 1}{1 + t}<a< a ⅰ) aa가 홀수일 때, 조건 (다)에서 a−a+12−1=11\displaystyle a - \frac{a + 1}{2} - 1 = 11 ∴ a=25a = 25 ⅱ) aa가 짝수일 때, 조건 (다)에서 a−a+22=11\displaystyle a - \frac{a + 2}{2} = 11 ∴ a=24a = 24 ⅰ), ⅱ)에서 구하는 모든 aa의 값의 합은 4949

태그

#내분점#등비수열#수열의 극한

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