내분점을 지나는 원 보기

ㄱ. $m = n$일 때, 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{OA}$의 중점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 0 , 2 \right)$ (참) ㄴ. 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$, ${\mathrm{R}}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left( 0 , \frac{4 m}{m + n} \right)$, $\displaystyle \left( \frac{4 m}{m + n} , 4 \right)$, $\displaystyle \left( 4 , \frac{4 n}{m + n} \right)$ 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{n}{m}$ 직선 $\mathrm{QR}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{m}{n}$ 두 직선 $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{QR}$의 기울기의 곱이 $\mathrm{-} 1$이므로 두 직선은 서로 수직이고 선분 ${\mathrm{PR}}$는 원 $C$의 지름이다. 점 ${\mathrm{S}}$의 좌표를 $\displaystyle \left( \frac{4 m}{m + n} , 0 \right)$이라 하면 직선 $\mathrm{PS}$의 기울기는 $\mathrm{-} 1$ 직선 $\mathrm{SR}$의 기울기는 $\mathrm{1}$ 두 직선 $\mathrm{PS}$, $\mathrm{SR}$의 기울기의 곱이 $\mathrm{-} 1$이므로 두 직선은 서로 수직이고 점 $\mathrm{S}$는 선분 $\mathrm{PR}$를 지름으로 하는 원 $C$ 위의 점이다. (참)

ㄷ. 선분 ${\mathrm{PR}}$를 지름으로 하고 중심의 좌표가 $( 2 , 2 )$인 원 $C$가 $x$축과 만나는 서로 다른 두 점을 $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( \frac{4 m}{m + n} , 0 \right)}$, $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{\left( \frac{4 n}{m + n} , 0 \right)}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = \left| \frac{4 \left( n - m \right)}{m + n} \right| = 3$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{PR}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 4 - 0 \right) ^{2} + \left( \frac{4 n}{m + n} - \frac{4 m}{m + n} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + \left\{ \frac{4 \left( n - m \right)}{m + n} \right\} ^{2}} = 5$ 삼각형 ${\mathrm{PQR}}$는 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} = \overline{{\mathrm{QR}}}$인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ