내분점 역수의 합

[출제의도] 내분하는 점을 구하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다. 선분 $\mathrm{OA}$를 $2 ^{n} : 1$로 내분하는 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 ^{n}}{2 ^{n} + 1} , 0 \right)$이므로 $\displaystyle l _{n} = \frac{2 ^{n}}{2 ^{n} + 1}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{1}{l _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{2 ^{n} + 1}{2 ^{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left\{ 1 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{10} 1 + \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$$\displaystyle = 10 + \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} \right\}}{1 - \frac{1}{2}}$ $\displaystyle = 10 + \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} \right\} = 11 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10}$