내분점 외분점 넓이비

[출제의도] 선분의 내분과 외분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{BC}$를 $1 : 3$으로 내분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} : {\overline{DC}} = 1 : 3$ 점 $\mathrm{E}$는 선분 $\mathrm{BC}$를 $2 : 3$으로 외분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} = 2 {\overline{BC}}$이고, 점 $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 외분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = 2 {\overline{AB}}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} : {\overline{EB}} = 1 : 8$이므로 삼각형 $\mathrm{AEB}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이의 $8$배이다. 또한 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = 2 {\overline{AB}}$이므로 삼각형 $\mathrm{FEB}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이의 $16$배이다. 따라서 $k = 16$

(단, $t$는 실수)