미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점 지나는 이차함수 극한

문제

자연수 nn에 대하여 직선 x+y=nx + y = n이 xx축, yy축과 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 선분 AB\mathrm{AB}를 1:21 : 2로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 2:12 : 1로 내분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 최고차항의 계수가 11인 이차함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프가 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 지날 때, 함수 f(x)f \left( x \right)의 일차항의 계수를 ana _{n}, 상수항을 bnb _{n}이라 하면 lim⁡n→∞9bnnan=k\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 b _{n}}{na _{n}} = k}이다. 10k210 k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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40

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해설

[출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 수열의 극한 문제 해결하기

y=f(x)y = f \left( x \right)

A(n,0),B(0,n)\mathrm{A} ( \mathit{n} , 0 ) , \mathrm{B} ( \mathit{0} , n )이고 P(23n,n3)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{2}{3} n , \frac{n}{3} \right)}, Q(n3,23n)\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{n}{3} , \frac{2}{3} n \right)}이다. 이차함수 f(x)=x2+anx+bnf \left( x \right) = x ^{2} + a _{n} x + b _{n}라고 하자. 함수 f(x)f \left( x \right)의 그래프와 직선 y=−x+ny = - x + n의 교점이 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}이므로 방정식 x2+anx+bn=−x+nx ^{2} + a _{n} x + b _{n} = - x + n의 두 근이 두 점P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 xx좌표이다. 따라서 이차방정식 x2+(an+1)x+(bn−n)=0x ^{2} + ( a _{n} + 1 ) x + ( b _{n} - n ) = 0 의 두 근이 n3\displaystyle \frac{n}{3},2n3\displaystyle \frac{2 n}{3}이므로 근과 계수의 관계에 의해 −(an+1)=n3+2n3=n\displaystyle - ( a _{n} + 1 ) = \frac{n}{3} + \frac{2 n}{3} = n, bn−n=n32n3=29n2\displaystyle b _{n} - n = \frac{n}{3} \frac{2 n}{3} = \frac{2}{9} n ^{2} an=−n−1,bn=29n2+n\displaystyle a _{n} = - n - 1 , b _{n} = \frac{2}{9} n ^{2} + n 이다. 따라서 lim⁡n→∞9bnnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{9 b _{n}}{na _{n}}}=lim⁡n→∞2n2+9n−n2−n=−2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n ^{2} + 9 n}{- n ^{2} - n}} = - 2 이므로 k=−2k = - 2이고 10k2=4010 k ^{2} = 40이다.

태그

#내분점#이차함수#수열의 극한

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